Cho hàm số F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) {2^x} - \cos x\)

a) \(f\left( 0 \right) = {2^0} - \cos 0 = 0\).

Vậy mệnh đề đã cho đúng.

b) \(F'\left( x \right) = f\left( x \right) = {2^x} - \cos x \Rightarrow F'\left( 0 \right) = {2^0} - \cos 0 = 0\).

Vậy mệnh đề đã cho sai.

c) Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(F\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = \frac{\pi }{2}\) là \(k = F'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = {2^{\frac{\pi }{2}}} - \cos \frac{\pi }{2} = \sqrt {{2^\pi }} \).

Vậy mệnh đề đã cho đúng.

d) \(\int {f(x){\rm{d}}x}  = \int {\left[ {{2^x} - \cos x} \right]{\rm{d}}x}  = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - \sin x + C\)\( \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - \sin x + C\).

Giả thiết \(F\left( 0 \right) = \frac{1}{{\ln 2}} \Leftrightarrow \frac{{{2^0}}}{{\ln 2}} - \sin 0 + C = \frac{1}{{\ln 2}} \Leftrightarrow C = 0\)\( \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - \sin x\)\( \Rightarrow F\left( { - 1} \right) = \frac{{{2^{ - 1}}}}{{\ln 2}} - \sin \left( { - 1} \right) = \frac{1}{{2\ln 2}} + \sin 1\).

Vậy mệnh đề đã cho đúng.