Cho hàm số f ( x ) = cos^2 (x/2) .

13/22

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S).Cho hàm số \[f\left( x \right) = {\cos ^2}\frac{x}{2}\].

\[\int {f\left( x \right)dx} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}\sin x + C\].

ĐúngSai

Nếu \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của \[f\left( x \right)\] trên khoảng \[\left( { - \infty ; + \infty } \right)\] và thỏa mãn \[F\left( 0 \right) = 3\] thì \[F\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{\pi }{{12}} + \frac{{11}}{4}\].

ĐúngSai

\[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = a + b\pi \left( {a,b \in Q} \right)\], trong đó \[{a^2} + {b^2} = \frac{1}{2}\].

ĐúngSai

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right),y = {x^2} - 4 + {\cos ^2}\frac{x}{2}\] và hai đường thẳng \[x = 0,x = 3\] bằng \[\frac{{23}}{3}\].

ĐúngSai

Giải thích

a) Sai. Ta có \[\int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{1 + \cos x}}{2}dx} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}\sin x + C\].

b) Sai. Ta có \[F\left( x \right) = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}\sin x + C\] mà \[F\left( 0 \right) = 3 \Leftrightarrow C = 3\].

Do đó \[F\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{\pi }{{12}} + \frac{1}{2}\sin \frac{\pi }{6} + 3 = \frac{\pi }{{12}} + \frac{{13}}{4}\].

c) Sai. Ta có \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 + \cos x} \right)dx = \frac{1}{2}} \left. {\left( {x + \sin x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\pi \]

Do đó \[a = \frac{1}{2},b = \frac{1}{4}\]

Vậy \[{a^2} + {b^2} = \frac{5}{{16}}\].

d) Đúng. Ta có \[{\cos ^2}\frac{x}{2} = {x^2} - 4 + {\cos ^2}\frac{x}{2} \Leftrightarrow {x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 2\end{array} \right.\].

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right),y = {x^2} - 4 + {\cos ^2}\frac{x}{2}\] và hai đường thẳng \[x = 0,x = 3\] là \[S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx} + \int\limits_2^3 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx} = \frac{{23}}{3}\].