Cho hàm số f ( x ) = cos 2x + 2x + 1

Xét mệnh đề a)

\(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \cos \left( {2.\frac{\pi }{2}} \right) + 2.\frac{\pi }{2} + 1 = \pi \) nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Đạo hàm \[f'\left( x \right) =  - 2\sin 2x + 2\] nên mệnh đề b) sai

Xét mệnh đề c)

Phương trình \[f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow  - 2\sin 2x + 2 = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\]

Vì \[x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\pi } \right]\] nên \[x = \frac{\pi }{4}\] nên mệnh đề c) đúng

Xét mệnh đề d)

Ta có \[f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) =  - \pi \]; \[f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{2} + 1\]; \[f\left( \pi  \right) = 2\pi  + 2\].

Vậy \[\mathop {\max }\limits_{\left[ { - \frac{\pi }{2};\,\pi } \right]} f\left( x \right) = f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) =  - \pi \] và \[\mathop {\min }\limits_{\left[ { - \frac{\pi }{2};\pi } \right]} f\left( x \right) = f\left( \pi  \right) = 2\pi  + 2\]

Khi đó tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \[\left[ { - \frac{\pi }{2};\pi } \right]\] bằng \(\pi  + 2\) nên mệnh đề d) sai