Cho hàm số f(x) có nguyên hàm trên . Xét các mệnh đề sau đây:

29/43

(I). ∫0π2sin2x.fsinxdx=∫01fxdx

(II). ∫01fexexdx=∫1efxx2dx

(III). ∫0ax3fx2dx=12∫0a2xfxdx

Những mệnh đề nào trong các mệnh đề đã cho là đúng?

Chỉ (I).

Chỉ (II).

Chỉ (III).

Cả (I), (II) và (III)

Giải thích

Xét mệnh đề (I).Ta có

∫0π2sin2x.fsinxdx=2∫0π2sinx.fsinxdsinx

Đặt t = sin(x)

Đổi cận x = 0⇒t = 0 và x=π2⇒t=1.

Khi đó

∫0π2sin2x.fsinxdx=2∫01tftdt=2∫01xfxdx

Do đó mệnh đề (I) đúng.

* Xét mệnh đề (II). Đổi biến t=ex, suy ra mệnh đề (II) đúng.

* Xét mệnh đề (III). Đổi biến t=x2 , suy ra mệnh đề (III) đúng

Đáp án D