Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên R thoả mãn f ( x ) > − 1 , f ( 0 ) = 0 và f ′ ( x ) √ x^2 + 1 = 2 x √ f ( x ) + 1 . Tính f ( √ 3 ) (nhập đáp án vào ô trống).

13/50

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thoả mãn \(f\left( x \right) > - 1\,,\,\,f\left( 0 \right) = 0\) và \(f'\left( x \right)\sqrt {{x^2} + 1} = 2x\sqrt {f\left( x \right) + 1} .\) Tính \(f\left( {\sqrt 3 } \right)\) (nhập đáp án vào ô trống).

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Ta có: \(f'\left( x \right)\sqrt {{x^2} + 1} = 2x\sqrt {f\left( x \right) + 1} \Leftrightarrow \frac{{f'\left( x \right)}}{{\sqrt {f\left( x \right) + 1} }} = \frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)

\[ \Leftrightarrow \int\limits_0^{\sqrt 3 } {\frac{{f'\left( x \right)}}{{\sqrt {f\left( x \right) + 1} }}} \,dx = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {\frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \left. {dx \Leftrightarrow \sqrt {f\left( x \right) + 1} } \right|_0^{\sqrt 3 } = \left. {\left. {\sqrt {{x^2} + 1} } \right|_0^{\sqrt 3 } \Leftrightarrow \sqrt {f\left( x \right) + 1} } \right|_0^{\sqrt 3 } = 1\]

\( \Leftrightarrow \sqrt {f\left( {\sqrt 3 } \right) + 1} - \sqrt {f\left( 0 \right) + 1} = 1 \Leftrightarrow \sqrt {f\left( {\sqrt 3 } \right) + 1} = 2 \Leftrightarrow f\left( {\sqrt 3 } \right) = 3.\)

Đáp án cần nhập là: 3.