Cho hàm số f( x ) = căn {{x^2} - 4} . Mệnh đề nào sau đây đúng?

24/234

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - 4} \). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Giải thích

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Xác định tính đơn điệu của hàm số.

Lời giải

TXĐ: \[D = \left( { - \infty ; - 2\left] \cup \right[2; + \infty } \right)\].

Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }},\forall x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < - 2}\\{x > 2}\end{array}{\rm{\;}}} \right.}\end{array}} \right.\)(vô nghiệm)

\(f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} > 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < - 2}\\{x > 2}\end{array} \Leftrightarrow x > 2} \right.}\end{array}} \right.\)

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\).