Cho hàm số f ( x ) = 9^x/( 9^x + 3 ). Giá trị của biểu thức f ( 1/2022 ) + f ( 2/2022 ) + ⋯ + f ( 2021/2022 ) bằng

64/100

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{9^x}}}{{{9^x} + 3}}\). Giá trị của biểu thức \(f\left( {\frac{1}{{2022}}} \right) + f\left( {\frac{2}{{2022}}} \right) + \cdots + f\left( {\frac{{2021}}{{2022}}} \right)\) bằng

\(\frac{{2021}}{2}\).

1010 .

1009 .

\(\frac{{4045}}{4}\).

Giải thích

Phương pháp giải

- Xét \[f\left( x \right) + f\left( {1 - x} \right)\]

- Tính giá trị biểu thức.

Lời giải

Ta có: \(f\left( x \right) + f\left( {1 - x} \right) = \frac{{{9^{1 - x}}}}{{{9^{1 - x}} + 3}} + \frac{{{9^x}}}{{{9^x} + 3}} = \frac{9}{{9 + {{3.9}^x}}} + \frac{{{9^x}}}{{{9^x} + 3}}\)

\( = \frac{3}{{3 + {9^x}}} + \frac{{{9^x}}}{{{9^x} + 3}} = 1\)

Ta thấy \(\frac{1}{{2022}} + \frac{{2021}}{{2022}} = 1 \Rightarrow f\left( {\frac{1}{{2022}}} \right) + f\left( {\frac{{2021}}{{2022}}} \right) = 1\)

Tương tự có: \(f\left( {\frac{2}{{2022}}} \right) + f\left( {\frac{{2020}}{{2022}}} \right) = 1; \ldots \)

Vậy có tất cả là 1010 cặp số và thừa \(f\left( {\frac{{1011}}{{2022}}} \right) = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow f\left( {\frac{1}{{2022}}} \right) + f\left( {\frac{2}{{2022}}} \right) + \cdots + f\left( {\frac{{2021}}{{2022}}} \right) = 1.1010 + \frac{1}{2} = \frac{{2021}}{2}\)

Chọn A