Cho hàm số f ( x ) = 92 − 20 ln ( x + 1 ) .

a) Đúng.

Điều kiện xác định: \(x + 1 > 0\)\( \Leftrightarrow x >  - 1\).

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - 1; + \infty } \right)\).

b) Sai.  

Xét bất phương trình \(f\left( x \right) \ge 36\):

\(92 - 20\ln \left( {x + 1} \right) \ge 36\)\( \Leftrightarrow \ln \left( {x + 1} \right) \le 2,8\)\( \Leftrightarrow x \le {e^{2,8}} - 1\)
Với \({e^{2.8}} \approx 16,4446\), ta có \(x \le 16,4446 - 1 = 15,4446\).

Kết hợp với điều kiện xác định \(x >  - 1\), ta có \( - 1 < x \le 15,4446\).

Các nghiệm nguyên của bất phương trình là các số nguyên thỏa mãn điều kiện trên. Đó là \(x \in \left\{ {0;1;2; \ldots ;15} \right\}\).
Số lượng nghiệm nguyên là \(15 - 0 + 1 = 16\) nghiệm.

c) Sai.

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số \(f\left( x \right) = 92 - 20\ln \left( {x + 1} \right)\).

Ta có \(f'\left( x \right) =  - \frac{{20}}{{x + 1}}\).

Trên tập xác định \(D = \left( { - 1; + \infty } \right)\), ta có \(x >  - 1 \Rightarrow x + 1 > 0\).

Do đó, \(f'\left( x \right) =  - \frac{{20}}{{x + 1}} < 0\) với mọi \(x \in \left( { - 1; + \infty } \right)\).

Vì \(f'\left( x \right) < 0\) trên \(\left( { - 1; + \infty } \right)\), hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng này.

d) Sai.

Xét giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + 5x\) trên đoạn \(\left[ {1;4} \right]\).

Ta có \(g\left( x \right) = \left[ {92 - 20\ln \left( {x + 1} \right)} \right] + 5x = 92 + 5x - 20\ln \left( {x + 1} \right)\).

Ta có \(g'\left( x \right) = 5 - \frac{{20}}{{x + 1}}\).

\(g'\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 5 - \frac{{20}}{{x + 1}} = 0\)\( \Leftrightarrow x = 3\).
Điểm \(x = 3\) thuộc đoạn \(\left[ {1;4} \right]\).

Tính giá trị của \(g\left( x \right)\) tại các điểm \(x = 1\), \(x = 3\), \(x = 4\):

\(g(1) = 92 + 5(1) - 20\ln (1 + 1) = 97 - 20\ln 2 \approx 83,137\).
\(g(3) = 92 + 5(3) - 20\ln (3 + 1) = 92 + 15 - 20\ln 4 = 107 - 20\ln ({2^2}) = 107 - 40\ln 2 \approx 79,274\).
\(g(4) = 92 + 5(4) - 20\ln (4 + 1) = 92 + 20 - 20\ln 5 = 112 - 20\ln 5 \approx 79,811\).
Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {1;4} \right]\) là \(g(1) \approx 97 - 20\ln 2\).