Cho hàm số f ( x ) = 4 cos^2 x/2 . Các khẳng định sau đây đúng hay sai?

18/25

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 4{\cos ^2}\frac{x}{2}\). Các khẳng định sau đây đúng hay sai?

\(\int {f\left( x \right)dx} = - 2\sin x + C\).

ĐúngSai

Biết rằng \(\int {f\left( x \right)dx} = ax + b\sin x + C,a,b \in \mathbb{Z}\), khi đó \(a + b = 4\).

ĐúngSai

Nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 1\) là \(F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) + 1\).

ĐúngSai

Nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) là \(F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) - \pi \).

ĐúngSai

Giải thích

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Vì \({\left( { - 2\sin x + C} \right)^\prime } = - 2\cos x \ne 4{\cos ^2}\frac{x}{2}\) nên hàm số \(F\left( x \right) = - 2\sin x + C\) không phải là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) đã cho.

b) Có \(\int {f\left( x \right)} dx = \int {4{{\cos }^2}\frac{x}{2}} dx = \int {2\left( {1 + \cos x} \right)} dx = 2\left( {x + \sin x} \right) + C\).

Suy ra \(a = 2;b = 2\). Do đó \(a + b = 4\).

c) Theo câu b, \(F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) + C\).

Vì \(F\left( 0 \right) = 1\) nên \(C = 1\). Vậy ta có \(F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) + 1\).

d) Theo câu b, \(F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) + C\).

Vì \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) nên \(2\left( {\frac{\pi }{2} + \sin \frac{\pi }{2}} \right) + C = 0 \Leftrightarrow C = - \pi - 2\).

Vậy \(F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) - \pi - 2\).