Cho hàm số f ( x ) = 4 cos^2 (x/2) . a) ∫ f ( x ) dx = − 2 sin x + C .

15/22

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 4{\cos ^2}\frac{x}{2}\).

a) \(\int {f\left( x \right)dx} = - 2\sin x + C\).

b) Biết rằng \(\int {f\left( x \right)} dx = ax + b\sin x + C,a,b \in \mathbb{Z}\). Khi đó \(a + b = 4\).

c) Nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 1\) là \(F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) + 1\).

d) Nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) là \(F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) - \pi \).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) Ta có \({\left( { - 2\sin x + C} \right)^\prime } = - 4\cos x \ne 4{\cos ^2}\frac{x}{2}\) nên hàm số \(F\left( x \right) = - 2\sin x\) không phải là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) đã cho.

b) Ta có \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {4{{\cos }^2}\frac{x}{2}dx} = \int {4.\frac{{1 + \cos x}}{2}dx} = 2\int {\left( {1 + \cos x} \right)dx} = 2\left( {x + \sin x} \right) + C\).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow a + b = 4\).

c) Theo câu b, \(F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) + C\).

Vì \(F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow C = 1\).

Vậy \(F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) + 1\).

d) Theo câu b, \(F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) + C\).

Vì \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) nên \(2\left( {\frac{\pi }{2} + \sin \frac{\pi }{2}} \right) + C = 0 \Rightarrow C = - \pi - 2\).

Vậy ta có \(F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin } \right) - \pi - 2\).

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.