Cho hàm số f ( x ) = 3x + a − 1, khi x ≤ 0 ; √ 1 + 2 x − 1 x , khi x > 0 . Tìm tất cả giá trị của a để hàm số đã cho liên tục tại điểm x = 0 .

Ta có:\(f\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {3x + a - 1} \right) = a - 1\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {1 + 2x}  - 1}}{x}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{2x}}{{x\left( {\sqrt {1 + 2x}  + 1} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{2}{{\sqrt {1 + 2x}  + 1}} = 1\).

Hàm số liên tục tại \[x = 0\]\( \Leftrightarrow f\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right)\)\( \Leftrightarrow a - 1 = 1\)\( \Leftrightarrow a = 2\). Chọn C.