Cho hàm số f ( x ) = 2x − m ⋅ l n x và g ( x ) = x + 4/x . Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = f ( g ( x ) ) có đúng 3 điểm cực trị trên ( 1/2 ; + ∞ ) là:

22/50

Cho hàm số $f\left( x \right) = 2x - m \cdot {\rm{ln}}x$ và $g\left( x \right) = x + \frac{4}{x}$. Số giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = f\left( {g\left( x \right)} \right)$ có đúng 3 điểm cực trị trên $\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)$ là:

10.

Giải thích

Có $f'\left( x \right) = 2 - \frac{m}{x};g'\left( x \right) = 1 - \frac{4}{{{x^2}}}$.

Có $y' = {\left[ {f\left( {g\left( x \right)} \right)} \right]^\prime } = g'\left( x \right) \cdot f'\left( {g\left( x \right)} \right) = \left( {1 - \frac{4}{{{x^2}}}} \right) \cdot f'\left( {g\left( x \right)} \right)$.

Cho $y' = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{g'\left( x \right) = 0}\\{f'\left( {g\left( x \right)} \right) = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 - \frac{4}{{{x^2}}} = 0}\\{x + \frac{4}{x} = \frac{m}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x = - 2\left( l \right)}\\{x + \frac{4}{x} = \frac{m}{2}\left( 2 \right)}\end{array}} \right.} \right.} \right.$

Khi đó, phương trình $y' = 0$ có một nghiệm $x = 2$ trong khoảng $\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)$.

Để hàm số đã cho có đúng 3 điểm cực trị trên $\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)$ thì phương trình (2) có đúng 2 nghiệm phân biệt khác 2 trên $\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)$.

Ta có bảng biến thiên của $g\left( x \right)$ như sau:

$Xét hàm số \(f\left( x \right) (ảnh 1)$

Từ bảng biến thiên, ta suy ra để phương trình (2) có đúng 2 nghiệm phân biệt khác 2 trên $\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)$ thì $4 < \frac{m}{2} < \frac{{17}}{2} \Leftrightarrow 8 < m < 17$.

Vậy có 8 giá trị nguyên của $m$ thoả mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.