Cho hàm số f ( x ) = 2 | x − 1 | . Gọi F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) thỏa mãn F ( 2 ) + F ( 0 ) = 5. Giá trị của biểu thức P = F ( 3 ) + F ( − 2 ) bằng:

34/50

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2\left| {x - 1} \right|.\) Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( 2 \right) + F\left( 0 \right) = 5.\) Giá trị của biểu thức \(P = F\left( 3 \right) + F\left( { - 2} \right)\) bằng:

Giải thích

• TH1: Với \(x < 1\) suy ra \(f\left( x \right) = 2\left( {1 - x} \right) = 2 - 2x\).

Khi đó \(F\left( x \right) = \int {\left( {2 - 2x} \right)\,} dx = 2x - {x^2} + {c_1}\).

• TH2: Với \(x \ge 1\) suy ra \(f\left( x \right) = 2\left( {x - 1} \right) = 2x - 2\).

Khi đó \(F(x) = \int {\left( {2x - 2} \right)\,} dx = {x^2} - 2x + {c_2}\).

Ta có \(F\left( 0 \right) = 2.0 - {0^2} + {c_1} = {c_1}\); \(F\left( 2 \right) = {2^2} - 2 \cdot 2 + {c_2} = {c_2}\).

Suy ra \(F\left( 2 \right) + F\left( 0 \right) = {c_1} + {c_2} = 5\).

Lại có \(F\left( 3 \right) = {3^2} - 2 \cdot 3 + {c_2} = 3 + {c_2}\); \(F\left( { - 2} \right) = - 2 \cdot 2 - {\left( { - 2} \right)^2} + {c_1} = {c_1} - 8\).

Vậy \(P = F\left( 3 \right) + F\left( { - 2} \right) = 3 + {c_2} + {c_1} - 8 = 3 + 5 - 8 = 0\). Chọn B.