Cho hàm số f (x) = 1/ x^2 - 4x + 3 và F (x ) = f (x) dx

a)   \(F'\left( x \right) = f(x) = \frac{1}{{{x^2} - 4x + 3}}\). Vậy câu a) đúng.

b)   Do \[\frac{1}{{x - 3}} - \frac{1}{{x - 1}} = \frac{{x - 1 - x + 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{2}{{{x^2} - 4x + 3}} = 2f(x) \Rightarrow f(x) = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{x - 3}} - \frac{1}{{x - 1}}} \right)\] nên câu b) sai.

c)   \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int {\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{x - 3}} - \frac{1}{{x - 1}}} \right){\rm{d}}x = \frac{1}{2}\left( {\int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{x - 3}} - \int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{x - 1}}} } } \right)}  = \frac{1}{2}\left( {\ln \left| {x - 3} \right| - \ln \left| {x - 1} \right|} \right) + C\)

\( = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{x - 3}}{{x - 1}}} \right| + C\).

Vậy câu c) sai.

d)   Ta có \(F(x) = \frac{1}{2}\ln \left( { - \frac{{x - 3}}{{x - 1}}} \right) + {C_1}\) khi \(x \in \left( {1;3} \right)\) và \(F(x) = \frac{1}{2}\ln \left( { - \frac{{x - 3}}{{x - 1}}} \right) + {C_2}\) khi \(x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\).

Có \(F(2) = {C_1} = 2 \Rightarrow F\left( {\frac{3}{2}} \right) = \ln \sqrt 3  + 2\).

\(F( - 1) = \frac{1}{2}\ln 2 + {C_2} = 5 \Rightarrow {C_2} = 5 - \ln \sqrt 2  \Rightarrow F(4) =  - \ln \sqrt 3  + 5 - \ln \sqrt 2 \).

Suy ra \(F\left( {\frac{3}{2}} \right) + F(4) = \ln \sqrt 3  + 2 + 5 - \ln \sqrt 3  - \ln \sqrt 2  = 7 - \ln \sqrt 2  < 10\)

Vậy câu d) đúng.