Cho hàm số f ( x ) = 1/3 x^3 + 2x^2 + mx với m là tham số. Các khẳng định sau đây là đúng hay sai?

Đáp án đúng: S; Đ; Đ.

Giải chi tiết:

Ta có đạo hàm:

                                              \[f'(x) = {x^2} + 4x + m.\]

Xét phương trình \(f'(x) = 0\):

    \[\Delta = {4^2} - 4 \cdot 1 \cdot m = 16 - 4m = 4(4 - m).\]

Với \(m > 0\), phương trình \(f'(x) = 0\) có thể có hai nghiệm phân biệt

    \((0 < m < 4)\) nên \(f(x)\) có hai điểm cực trị, do đó không thể đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

    \( \Rightarrow \) Khẳng định a) sai.

Với \(m > 4\), ta có \(\Delta < 0\) nên \(f'(x) > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

    Suy ra hàm số \(f(x)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

    \( \Rightarrow \) Khẳng định b) đúng.

Với \(m > 2\), ta có \(f'(x) = {x^2} + 4x + m > 0\) với mọi \(x > 0\),

    nên hàm số \(f(x)\) đồng biến trên \((0; + \infty )\).

    \( \Rightarrow \) Khẳng định c) đúng

Đáp án cần chọn: S; Đ; Đ.