Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. Xét các mệnh đề sau

10/30

Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. Xét các mệnh đề sau:

(I). Nếu f'(x)≥0,∀x∈I, ∀x∈I (dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên I) thì hàm số đồng biến trên I.

(II). Nếu f'(x)≤0,∀x∈I, ∀x∈I (dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên I) thì hàm số nghịch biến trên I.

(III). Nếu f'(x)≤0,∀x∈I, ∀x∈I thì hàm số nghịch biến trên khoảng I.

(IV). Nếu f'(x)≤0,∀x∈I, ∀x∈I và f'(x)=0 tại vô số điểm trên I thì hàm số f không thể nghịch biến trên khoảng I.

Trong các mệnh đề trên. Mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?

I và II đúng, còn III và IV sai

I, II và III đúng, còn IV sai

I, II và IV đúng, còn III sai

I, II, III và IV đúng

Giải thích

Chọn A

Các mệnh đề I, II đúng còn các mệnh đề III, IV sai.

Mệnh đề III sai vì thiếu điều kiện dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên I

Mệnh đề IV sai vì ta xét hàm số fx=cos2x-2x+3 có

f'x=-21+sin2x≤0,∀x∈ℝ và

tức là f'x=0 tại vô số điểm trên ℝ.

Mặt khác hàm số fx=cos2x-2x+3

liên tục trên -π4+kπ;-π4+k+1π

và f'x<0, ∀x∈-π4+kπ;-π4+(k+1)π

do đó hàm số fx nghịch biến

trên mỗi đoạn -π4+kπ;-π4+k+1π, k∈ℤ.

Vậy hàm số nghịch biến trên .