Cho hàm số đa thức y=f(x) có đạo hàm trên R .
94/100
Cho hàm số đa thức \(y = f(x)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\).
Biết rằng \(f(0) = 0,f( - 3) = f(4) = \frac{{35}}{4}\) và đồ thị hàm số \(y = {f^\prime }(x)\) có dạng như hình vẽ bên dưới. Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g(x) = - \left| {4f(x) - 2{x^2}} \right|\) trên \([ - 3;4]\) bằng
4.
−3.
0.
−17.
Xét hàm số \(h(x) = 4f(x) - 2{x^2}\) xác định trên \(\mathbb{R}\).
Hàm số \(f(x)\) là hàm đa thức nên \(h(x)\) cūng là hàm đa thức và \(h(0) = 4f(0) - {2.0^2} = 0\).
Khi đó \({h^\prime }(x) = 4{f^\prime }(x) - 4x \Rightarrow {h^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow {f^\prime }(x) = x\).
Dưa vào sự tương giao của đồ thị hàm số \(y = {f^\prime }(x)\) và đường thẳng \(y = x\), ta có \({h^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow x \in \{ - 3;0;4\} \).
Ta có bảng biến thiên của \(h(x)\) như sau:
Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số \[g(x) = - |h(x)|\] như sau:
Vậy giá trị nhỏ nhất của g(x) trên [−3;4] là −17.