Cho hàm số đa thức y=f(x) có đạo hàm thỏa mãn f'(x) = (x + 5).(x - 2).(3 - x)^2 với mọi

Ta xét dấu của \(f'\left( x \right)\):

Vì \({\left( {3 - x} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\), dấu của \(f'\left( x \right)\) phụ thuộc vào tích \(\left( {x + 5} \right)\left( {x - 2} \right)\).

\(f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 5} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)

\(f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - 5;2} \right)\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 5,x = 2,x = 3\) (trong đó \(x = 3\) là nghiệm kép).

a) ĐÚNG: Trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\), ta thấy \(\left( {0;2} \right) \subset \left( { - 5;2} \right)\) tại đó \(f'\left( x \right) < 0\). Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).

b) SAI: Đạo hàm chỉ đổi dấu qua \(x = - 5\) (từ dương sang âm \( \Rightarrow \) cực đại) và qua \(x = 2\) (từ âm sang dương \( \Rightarrow \) cực tiểu). Qua \(x = 3\), \(f'\left( x \right)\) không đổi dấu. Vậy hàm số chỉ có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.

c) SAI: Trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\), hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ; - 5} \right)\) và nghịch biến trên \(\left( { - 5;2} \right)\). Do đó tại \(x = - 5\) hàm số đạt cực đại, giá trị nhỏ nhất trên đoạn này không thể khẳng định là \(f\left( { - 2} \right)\).

d) ĐÚNG: Tính đạo hàm \(g'\left( x \right) = {\left( {3 - {2^x}} \right)^\prime } \cdot f'\left( {3 - {2^x}} \right) = - {2^x}{\rm{ln}}2 \cdot f'\left( {3 - {2^x}} \right)\).

Để hàm số đồng biến thì \(g'\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow f'\left( {3 - {2^x}} \right) \le 0\) (vì \( - {2^x}{\rm{ln}}2 < 0\)).

Từ điều kiện \(f'\left( t \right) \le 0 \Leftrightarrow - 5 \le t \le 2\), ta thay \(t = 3 - {2^x}\):

\( - 5 \le 3 - {2^x} \le 2 \Leftrightarrow - 8 \le - {2^x} \le - 1 \Leftrightarrow 1 \le {2^x} \le 8 \Leftrightarrow 0 \le x \le 3\).

Hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\) là đúng theo lý thuyết tập nghiệm \(\left[ {0;3} \right]\).