Cho hàm số đa thức bậc ba y = f(x) có hai điểm cực trị là x=0 và x=3. Hàm số y = g(x) là hàm số bậc bốn có đồ thị là đường cong như hình vẽ:

Đáp án đúng là "4"

Phương pháp giải

Số cực trị là số nghiệm bội lẻ của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\)

Lời giải

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có hai điểm cực trị là \(x = 0\) và \(x = 3\) và \(f'\left( x \right)\) đổi dấu khi đi qua hai điểm này \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f'\left( 0 \right) = 0}\\{f'\left( 3 \right) = 0}\end{array}} \right.\).

Xét hàm số \(y = f\left( {g\left( x \right) + m} \right)\) có đạo hàm \(y' = g'\left( x \right).f'\left( {g\left( x \right) + m} \right)\).

Giải phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{g'\left( x \right) = 0}\\{f'\left( {g\left( x \right) + m} \right) = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_1}}\\{x = 0}\\{x = {x_2}}\\{g\left( x \right) + m = 0}\\{g\left( x \right) + m = 3}\end{array}{\rm{\;}}} \right.} \right.\)(1) với \({x_1};0;{x_2}\) là các điểm cực trị của hàm số \(y = g\left( x \right)\).

Để hàm số \(y = f\left( {g\left( x \right) + m} \right)\) có đúng 7 điểm cực trị thì phương trình (*) phải có đúng 7 nghiệm phân biệt.

Để phương trình (1) có đúng 7 nghiệm phân biệt thì \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{g\left( x \right) + m = 0}\\{g\left( x \right) + m = 3}\end{array}} \right.\) (2) có đúng 4 nghiệm phân biệt và 4 nghiệm này phải khác \({x_1};0;{x_2}\).

Từ (2) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{g\left( x \right) =  - m}\\{g\left( x \right) =  - m + 3}\end{array}} \right.\).

Dựa vào đồ thị, yêu cầu bài toán

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - m \ge  - 1}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5 <  - m + 3 <  - 1}\\{ - m \le  - 5}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 1}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4 < m < 8}\\{m \ge 5}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 1}\\{5 \le m < 8}\end{array}} \right.} \right.} \right.\]

Vậy có 4 giá trị nguyên dương \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.