Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng (1; dương vô cực) và thỏa mãn (xf'(x)-2f(x)0lnx=x^3-f(x) ; biết f( căn bậc 3 của e)=3e. Giá trị f(2) thuộc khoảng nào dưới đây?

47/50

Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng (1;+∞)và thỏa mãn (xf'(x)−2f(x))lnx=x3−f(x), ∀x∈(1;+∞); biết f(e3)=3e . Giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?

(12;252) .

(13;272).

(232;12).

(14;292).

Giải thích

Đáp án C

Vì x∈(1;+∞) nên ta có (x2f'(x)−2xf(x))lnx=x4−xf(x)

⇔(x2f'(x)−2xf(x)x4)lnx=1−f(x)x3.

⇒(f(x)x2)'lnx=1−f(x)x3⇔∫(f(x)x2)'lnxdx=∫(1−f(x)x3)dx

⇔f(x)lnxx2−∫f(x)x3dx=x−∫f(x)x3dx+C

⇔f(x)lnxx2=x+C⇔f(x)lnxx2=x+C⇔f(x)=x2(x+C)lnx

Theo đề bài f(e3)=3e⇒C=0⇒f(x)=x3lnxf(2)=8ln2∈(232;12).