Cho hàm số  . Có bao nhiêu giá trị nguyên không âm của m nhỏ hơn 10 để hàm số đã cho đơn điệu trên (0;2)? (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án đúng là "4"

Phương pháp giải

Xét dấu đạo hàm của hàm số.

Lời giải

Hàm số đã cho xác định trên \(\mathbb{R}\) do \({x^2} + mx + {m^2} + 1 = {\left( {x + \frac{m}{2}} \right)^2} + \frac{{3{m^2}}}{4} + 1 > 0\).

Có \(f'\left( x \right) = \frac{{\left( {2x - m} \right)\left( {{x^2} + mx + {m^2} + 1} \right) - \left( {2x + m} \right)\left( {{x^2} - mx} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + mx + {m^2} + 1} \right)}^2}}}\)

\(f'\left( x \right) = \frac{{2m{x^2} + 2\left( {{m^2} + 1} \right)x - m\left( {{m^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + mx + {m^2} + 1} \right)}^2}}}\)

Gọi \(g\left( x \right) = 2m{x^2} + 2\left( {{m^2} + 1} \right)x - m\left( {{m^2} + 1} \right)\).

Xét phương trình \(g\left( x \right) = 0\) có \(a.c =  - 2{m^2}\left( {{m^2} + 1} \right) < 0\) nên phương trình \(g\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\).

Khi đó, để \(g\left( x \right) \le 0\forall x \in \left( {0;2} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {0;2} \right) \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right] \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{g\left( 2 \right) \le 0}\\{g\left( 0 \right) \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{8m + 4\left( {{m^2} + 1} \right) - m\left( {{m^2} + 1} \right) \le 0}\\{\frac{{ - m}}{{{m^2} + 1}} \le 0}\end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - {m^3} + 4{m^2} + 7m + 4 \le 0}\\{m \ge 0}\end{array}} \right.\)

Ta kiểm tra được \( - {m^3} + 4{m^2} + 7m + 4 > 0\) khi \(m \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\).

Do \( - {m^3} + 4{m^2} + 7m + 4 =  - \left( {m - 6} \right)\left( {{m^2} + 2m + 5} \right) - 26 < 0\,\,\forall m \ge 6\) nên những giá trị nguyên của \(m\) thoả mãn yêu cầu bài toán là \(m \in \left\{ {6;7;8;9} \right\}\).