Cho hàm số căn x^2-2x+3 có đồ thị (C) và điểm A(1, anpha). Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để có đúng hai tiếp tuyến của (C) đi qua A ?
Giải thích
Hướng dẫn giải
Ta có hàm số y=x2−2x+3 xác định trên R, y'=x−1x2−2x+3.
Gọi k là hệ số góc của đường thẳng ∆ đi qua A1;a.
Phương trình đường thẳng Δ:y=kx−1+a.
Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đồ thị (C) khi hệ phương trình sau có nghiệm
Thay (2) vào (1) ta được x2−2x+3=x−1x2−2x+3x−1+a
⇔x2−2x+3=x−12+ax2−2x+3⇔ax2−2x+3=2.
⇔a=2x2−2x+33
Qua A có đúng hai tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt.
Xét hàm số fx=2x2−2x+3.
Ta có f'x=−2x−1x2−2x−3x2−2x+3;f'x=0⇔x=1.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có (3) có hai nghiệm phân biệt thì a∈0;2. Mà a nguyên nên a=1.
Chọn C.