Cho hàm số (C): y=x^2+2(m+1)x+m^2+4m/x+2 . Có bao nhiêu giá trị thực của m để đồ thị hàm số (C) có điểm cực đại

Điều kiện: x≠−2  . Ta có y'=x2+4x+4−m2x+22 .

Ta có x2+4x+4−m2=0⇔x=m−2x=−m−2 .

Hàm số có điểm cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi m≠0 .

Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị là

A−m−2;−2, Bm−2;4m−2⇒AB→=2m;4m

Dễ thấy OA→ ,OB→ , AB→≠0→ .

Trường hợp 1: Tam giác OAB  vuông tại O

⇔OA→.OB→=0⇔−m2−8m+8=0⇔m=−4±26 (thỏa mãn)

Trường hợp 2: Tam giác OAB  vuông tại A⇔OA→.AB→=0

⇔2m−m−2−2.4m=0⇔−m−2−4=0⇔m=−6 (thỏa mãn)

Trường hợp 3: Tam giác OAB  vuông tại  B⇔OB→.AB→=0

⇔2mm−2+4m−24m=0⇔m−2+24m−2=0⇔m=23 (thỏa mãn)

Vậy có bốn giá trị thực của m thỏa mãn đề bài.

Chọn A.