Cho hàm số bậc hai y=2x^2-3x-5 có đồ thị là (P) và đường thẳng (d): y=mx+2m^2-1 .

Phương trình hoành độ giao điểm của (P)  và (d)  : 

2x2−m+3x−2m2−4=0. (*)

Phương trình này có Δ=m+32+82m2+4  luôn nhận giá trị dương nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt. Gọi 2 nghiệm đó là x1,x2  thì x1+x2=m+32 .

Như vậy, (d)  luôn cắt P  tại hai điểm phân biệt A  và B  lần lượt có hoành độ là x1,x2 .

Trung điểm của đoạn thẳng là AB .

Ix1+x22;mx1+x22+2m2−1=m+34;mm+34+2m2−1

A, B nằm khác phía và cách đều đường thẳng y=−3x+5  khi và chỉ khi (d)  cắt đường thẳng y=−3x+5  tại I , tương đương m≠−3  và I  thuộc đường thẳng y=−3x+5 , tương đương 3m2+2m−5=0 .

Vậy có hai phần tử và tổng của chúng là −23 .