Cho hàm số bậc hai (P): y=x^2 -2mx+3m-2 , trong đó x là ẩn, m là tham số.

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) với trục hoành: x2−2mx+3m−2=0*

Để (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1,  x2⇔ Phương trình (*) có hai nghiệm

phân biệt x1,x2⇔Δ'=m2−3m+2>0⇔m>2m<1.**

Với điều kiện (**), theo định lí Viét ta có: x1+x2=2m,  x1x2=3m−2.

Do đó x12+x22=x1+x22−2x1x2=4m2−23m−2=4m2−6m+4

x12+x22=4m2−6m+4=2m−322+74≥74,∀m∈D=−∞;1∪2;+∞.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

2m−32=0⇔m=34∈D.

Vậy biểu thức x12+x22 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 74 khi và chỉ khi m=34.