Cho hàm số bậc bốn y=f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số g(x)=f(x^3-3x)

Từ đồ thị ta có bảng xét dấu \({\rm{y'}} = {\rm{f'}}({\rm{x}})\) của hàm số \({\rm{y}} = {\rm{f}}({\rm{x}})\) như sau

Với \[a \in \left( { - \infty \,;\,\, - 2} \right),\,\,b \in \left( { - 2\,;\,\,0} \right),\,\,c \in \left( {0\,;\,\,2} \right)\]. Ta có \(g'(x) = \left( {3{x^2} - 3} \right)f'\left( {{x^3} - 3x} \right)\).

\(g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{3{x^2} - 3 = 0}\\{f'\left( {{x^3} - 3x} \right) = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  \pm 1}\\{{x^3} - 3x = a}\\{{x^3} - 3x = b}\\{{x^3} - 3x = c}\end{array}} \right.} \right.\).

Xét hàm số \(h(x) = {x^3} - 3x\). Ta có \[h'(x) = 3{x^2} - 3\,,\,\,h'(x) = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\].

Bảng biến thiên của \(h(x)\):

Từ bảng biến thiên trên ta có:

• Phương trình \({x^3} - 3x = a\) với \(a \in \left( { - \infty \,;\,\, - 2} \right)\) có một nghiệm \({x_1}\) nhỏ hơn \( - 1\).

• Phương trình \({x^3} - 3x = b\) với \(b \in \left( { - 2\,;\,\,0} \right)\) có ba nghiệm phân biệt \({x_2},\,\,{x_3},\,\,{x_4}\) khác \( \pm 1\) và khác \({x_1}.\)

• Phương trình \({x^3} - 3x = c\) với \(c \in \left( {0\,;\,\,2} \right)\) có ba nghiệm phân biệt \({x_5},\,\,{x_6},\,\,{x_7}\) khác \( \pm 1,\,\,{x_1},\,\,{x_2},\,\,{x_3}\) và \({x_4}.\)

Như vậy phương trình \(g'(x) = 0\) có 9 nghiệm phân biệt gồm \({x_1},\,\,{x_2},\,\,{x_3},\,\,{x_4},\,\,{x_5},\,\,{x_6},\,\,{x_7},\,\, - 1,\,\,1\) nên hàm số \(g(x) = f\left( {{x^3} - 3x} \right)\) có 9 điểm cực trị. Chọn C.