Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ.Tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số

Giải chi tiết:

Xét \(y' = (2f(x) - 1) \cdot f'[{f^2}(x) - f(x) + m] = 0\)

Trường hợp 1: \(2f(x) - 1 = 0 \Leftrightarrow f(x) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = a}&{(a < 0),}\\{x = b}&{(0 < b < 2),}\\{x = c}&{(c > 2).}\end{array}} \right.\)

Trường hợp 2: \({\rm{: }}f'\left[ {{f^2}(x) - f(x) + m} \right] = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{f^2}(x) - f(x) + m = 0,}\\{{f^2}(x) - f(x) + m = 2,}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = - {f^2}(x) + f(x)\quad (1),}\\{m = - {f^2}(x) + f(x) + 2\quad (2).}\end{array}} \right.{\mkern 1mu} \)

Xét hàm số \(g(x) = - {f^2}(x) + f(x).\)

Ta có\(\)\(g'(x) = [ - 2f(x) + 1] \cdot f'(x) = 0 \Leftrightarrow x \in \{ a;{\mkern 1mu} 0;{\mkern 1mu} b;{\mkern 1mu} 2;{\mkern 1mu} c\} .\)

Ta có bảng biến thiên như sau:

Để hàm số \(y = f\left[ {{f^2}(x) - f(x) + m} \right]\) có nhiều điểm cực trị nhất thì phương trình \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) phải có tổng số nghiệm nhiều nhất, tương đương với việc \(2 < m < \frac{9}{4}.\) Vậy \(a - b = 2 - \frac{9}{4} = - \frac{1}{4}.\)

Đáp án: \(\frac{{ - 1}}{4}.\)