Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) = a x^3 + b x^2 + c x + d có đồ thị như hình vẽ dưới đây (a) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 . (b) Có 3 giá trị nguyên của m để phương trình f ( x ) = m có
13/21
Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây
(a) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\).
(b) Có 3 giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \(f\left( x \right) = m\) có 3 nghiệm phân biệt.
(c) Đường cong trên là đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2\).
(d) Gọi \(M\)và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \([0;2]\) thì \(M + m = 0\)
a) Dựa vào đồ thị ta có hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\).
b) Để phương trình \(f\left( x \right) = m\) có 3 nghiệm phân biệt thì \( - 2 < m < 2\) mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\).
Vậy có 3 giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \(f\left( x \right) = m\) có 3 nghiệm phân biệt.
c) Dựa vào đồ thị hàm số ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 2\\f\left( 2 \right) = - 2\\f'\left( 0 \right) = 0\\f'\left( 2 \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 2\\8a + 4b + 2c + d = - 2\\c = 0\\12a + 4b + c = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 3\\c = 0\\d = 2\end{array} \right.\).
Suy ra \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2\).
d) Ta có \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 2;m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = - 2\).
Suy ra \(M + m = 0\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.