Cho hàm số bậc ba f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d
16/22
Cho hàm số bậc ba \[f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d,\left( {a \ne 0} \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\] và có đồ thị như hình vẽ
[VD] Trong bốn giá trị \[a,b,c,d\] có đúng một giá trị bằng 0.
[TH] Hàm số \[y = f\left( x \right)\] là hàm số lẻ trên tập \[\mathbb{R}\].
[TH] Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] là \[x = - 1\].
[TH] Số nghiệm thực của phương trình \[f\left( x \right) = \frac{{2025}}{{2026}}\] là 3.
a) Sai.
Ta có: \[f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\].
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại gốc tọa độ \[O\]nên \[d = 0\].
Hàm số có hai điểm cực trị \[x = - 1,x = 1\] và \[f\left( 1 \right) = 2\]nên ta có:\[\left\{ \begin{array}{l}3a - 2b + c = 0\\3a + 2b + c = 0\\a + b + c + d = 2\end{array} \right.\].
Khi đó: \[a = - 1,b = 0,c = 3,d = 0\].
Vậy trong bốn giá trị \[a,b,c,d\] có 2 giá trị bằng 0.
b) Đúng.
Do đồ thị hàm số đối xứng qua gốc O nên hàm số \[y = f\left( x \right)\] là hàm số lẻ trên tập \[\mathbb{R}\].
c) Đúng.
Theo đồ thị hàm số, ta thấy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] là \[x = - 1\].
d) Đúng.
Đường thẳng\[y = \frac{{2025}}{{2026}}\] cắt đồ thị hàm số\[y = f\left( x \right)\] tại 3 điểm phân biệt.
Vậy số nghiệm thực của phương trình \[f\left( x \right) = \frac{{2025}}{{2026}}\] là 3.