Cho hai vị trí A , B cách nhau 615 m , cùng nằm về một phía bờ sông như hình vẽ. Khoảng cách từ A và từ B đến bờ sông lần lượt là 118 m và 487 m . Một người đi từ A đến bờ sông

Giải chi tiết:

Giả sử người đó đi từ \(A\) đến \(M\) để lấy nước và đi từ \(M\) về \(B.\) Dễ dàng tính được \(BD = 369,\)\[EF = 492.\] Ta đặt \(EM = x,\) khi đó:

Ta có:\[MF = 492 - x,\] \[AM = \sqrt {{x^2} + {{118}^2}} ,\] \[BM = \sqrt {{{(492 - x)}^2} + {{487}^2}} .\]

Như vậy, hàm số \(f(x)\) được xác định bằng tổng quãng đường \(AM\) và \(BM:\)

  \[f(x) = \sqrt {{x^2} + {{118}^2}} + \sqrt {{{(492 - x)}^2} + {{487}^2}} ,\] \[x \in [0;492].\]

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(f(x)\) để có quãng đường ngắn nhất,

từ đó xác định vị trí điểm \(M.\)

Ta có đạo hàm:

  \[f'(x) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {{118}^2}} }} - \frac{{492 - x}}{{\sqrt {{{(492 - x)}^2} + {{487}^2}} }}.\]

Giải phương trình \(f'(x) = 0\):

            \[\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {{118}^2}} }} = \frac{{492 - x}}{{\sqrt {{{(492 - x)}^2} + {{487}^2}} }}.\]

Bình phương hai vế:

        \[{x^2}({(492 - x)^2} + {487^2}) = {(492 - x)^2}({x^2} + {118^2}).\]

Suy ra:

                                 \[{487^2}{x^2} = {118^2}{(492 - x)^2}.\]

Với \(0 \le x \le 492\), ta được:

                                                \[487x = 118(492 - x)\]

                             \[ \Rightarrow x = \frac{{58056}}{{605}}.\]

Hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;492} \right].\)

So sánh các giá trị:

    \[f(0),\] \[f\left( {\frac{{58056}}{{605}}} \right),\] \[f(492).\]

ta thấy \(f(x)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại

                            \[x = \frac{{58056}}{{605}} \approx 95,96.\]

Giá trị nhỏ nhất của \(f(x)\) là:

                      \[f\left( {\frac{{58056}}{{605}}} \right) \approx 779,8\;{\rm{m}}.\]

Đáp án cần chọn: B.