Cho hai vectơ bất kì → a và → b thỏa mãn ∣ ∣ → a ∣ ∣ = 3 , 5 ; ∣ ∣ ∣ → b ∣ ∣ ∣ = 4 , 2 ; ( → a , → b ) = 85 ∘ . Tính → a . → b , → a . ( → a + 2 → b ) .

27/28

(1,0 điểm).

a) Cho hai vectơ bất kì $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ thỏa mãn $\left| {\overrightarrow a } \right| = 3,5;\,\left| {\,\overrightarrow b } \right| = 4,2;\,\,\left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right) = 85^\circ $. Tính $\overrightarrow a .\overrightarrow b $, $\overrightarrow a .\left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right)$.

b) Cho tam giác $ABC$ có $G$ là trọng tâm. Gọi $H$ là chân đường cao hạ từ $A$ sao cho $\overrightarrow {BH} = \frac{1}{3}\overrightarrow {HC} $. Điểm $M$ di động nằm trên $BC$ sao cho $\overrightarrow {BM} = x\overrightarrow {BC} $. Tìm $x$ sao cho độ dài của vectơ $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} $ đạt giá trị nhỏ nhất.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) Ta có: $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right) = 3,5.4,2.{\rm{cos}}85^\circ \approx 1,3$.

Ta có: $\overrightarrow a .\left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right) = \overrightarrow a .\overrightarrow a + \overrightarrow a .2\overrightarrow b = {\overrightarrow a ^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \approx 3,{5^2} + 2.1,3 \approx 13,5$.

$a) Cho hai vectơ bất kì \(\overright (ảnh 1)$

Dựng hình bình hành $AGCE$. Khi đó, ta có: $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AE} = \overrightarrow {ME} $

$ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} } \right| = \left| {\overrightarrow {ME} } \right| = ME$

Kẻ \[EF \bot BC\left( {F \in BC} \right)\]

$ \Rightarrow ME \ge EF$

Do đó $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} } \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng \[EF\] khi $M$ trùng $F$.

Gọi $P$ là trung điểm của $AC$, kẻ \[PQ \bot BC\left( {Q \in BC} \right)\]

$ \Rightarrow P$ là trung điểm của $GE$ (tính chất hình bình hành)

Ta lại có: $BG = \frac{2}{3}BP$

$ \Rightarrow BP = \frac{3}{4}BE$

Vì \[PQ\parallel EF\left( { \bot BC} \right)\] nên $BQ = \frac{3}{4}BF$ hay $BF = \frac{4}{3}BQ$

$ \Rightarrow \overrightarrow {BF} = \frac{4}{3}\overrightarrow {BQ} $

Xét tam giác $AHC$, có:

$P$ là trung điểm của $AC$

\[PQ\parallel AH\left( { \bot BC} \right)\]

Suy ra $Q$ là trung điểm của $HC$ nên $\overrightarrow {HQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {HC} $

Ta lại có: $\overrightarrow {BH} = \frac{1}{3}\overrightarrow {HC} $

$ \Rightarrow \overrightarrow {BH} + \overrightarrow {HQ} = \frac{1}{3}\overrightarrow {HC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {HC} = \frac{5}{6}\overrightarrow {HC} $

$ \Leftrightarrow \overrightarrow {BQ} = \frac{5}{6}\overrightarrow {HC} $

Mà $\overrightarrow {HC} = \frac{3}{4}\overrightarrow {BC} $ nên $\overrightarrow {BQ} = \frac{5}{6}.\frac{3}{4}\overrightarrow {BC} = \frac{5}{8}\overrightarrow {BC} .$

Do đó $\overrightarrow {BF} = \frac{4}{3}\overrightarrow {BQ} = \frac{4}{3}.\frac{5}{8}\overrightarrow {BC} = \frac{5}{6}\overrightarrow {BC} $.

Vậy điểm $M$ nằm trên $BC$ thỏa mãn $\overrightarrow {BM} = \frac{5}{6}\overrightarrow {BC} $ hay $x = \frac{5}{6}$ thì độ dài của vectơ $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} $ đạt giá trị nhỏ nhất.