Cho hai vectơ a, b sao cho | vecto a | = sqrt 2 , | vecto b | = 2 và hai vectơ vecto x = vecto a + vecto b, vecto y = 2 vecto a - vecto b vuông góc với nhau

17/22

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) sao cho \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt 2 \), \(\left| {\overrightarrow b } \right| = 2\) và hai vectơ \(\overrightarrow x = \overrightarrow a + \overrightarrow b \), \(\overrightarrow y = 2\overrightarrow a - \overrightarrow b \) vuông góc với nhau. Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) (đơn vị độ).

Giải thích

Đáp án: 90.

Ta có \(\overrightarrow x \bot \overrightarrow y \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow x \cdot \overrightarrow y = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\left( {2\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) = 0\)

\[ \Leftrightarrow 2{\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + 2\overrightarrow a \overrightarrow b - {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = 0\]

\[ \Leftrightarrow 2{\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 0\]

\( \Leftrightarrow 2 \cdot {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} - {2^2} + \sqrt 2 \cdot 2 \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 0\)

\[ \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 0\]

\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 90^\circ \).