Cho hai tập hợp A={x∈R|(x^2−4)(x2−7x+m−3)=0} và B=(0;+∞) (với m là tham số). Tìm điều kiện của m để A∩B có đúng 3 phần tử và tích của 3 phần tử đó bằng 24.

Xét phương trình của tập \(A\):

\(\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} - 7x + m - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 4 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} - 7x + m - 3 = 0\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Giải phương trình (1) được hai nghiệm: \(x = 2\) hoặc \(x = - 2\). Khi giao với tập số dương \(B = \left( {0; + \infty } \right)\), nghiệm \(x = - 2\) bị loại, ta giữ lại được nghiệm \(x = 2\).

Để tập hợp \(A \cap B\) có đúng 3 phần tử, phương trình bậc hai (2) bắt buộc phải có 2 nghiệm dương phân biệt khác 2 (gọi là \({x_1},{x_2}\)). Khi đó tập giao là \(A \cap B = \left\{ {2;{x_1};{x_2}} \right\}\).

Theo giả thiết, tích của 3 phần tử bằng 24:

\(2 \cdot {x_1} \cdot {x_2} = 24 \Rightarrow {x_1} \cdot {x_2} = 12\)

Áp dụng định lý Vi-ét cho phương trình (2), tích hai nghiệm là: \({x_1} \cdot {x_2} = m - 3\). Từ đó ta có:

\(m - 3 = 12 \Rightarrow m = 15\)

Kiểm tra lại: Thay \(m = 15\) vào phương trình (2) được \({x^2} - 7x + 12 = 0 \Rightarrow x = 3\) hoặc \(x = 4\) (Thỏa mãn 2 nghiệm dương phân biệt và khác 2).

Đáp số: 15