Cho hai tam giác ABC và A ′B ′C ′ có trọng tâm lần lượt là G và G ′ . Đẳng thức nào sau đây đúng?

18/38

Cho hai tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\) có trọng tâm lần lượt là \(G\) và \(G'\). Đẳng thức nào sau đây đúng?

\(\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {C'C} = 3\overrightarrow {GG'} \);

\(\overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {BC'} + \overrightarrow {CA'} = 3\overrightarrow {GG'} \);

\(\overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {BA'} + \overrightarrow {CB'} = 3\overrightarrow {GG'} \);

\(\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} = 3\overrightarrow {GG'} \).

Giải thích

Đáp án đúng là: D

Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên ta có \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).

Vì \(G'\) là trọng tâm của tam giác \(A'B'C'\) nên ta có \(\overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {G'B'} + \overrightarrow {G'C'} = \overrightarrow 0 \).

Theo quy tắc ba điểm ta có:

\(\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} = \left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'A'} } \right) + \left( {\overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'B'} } \right) + \left( {\overrightarrow {CG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'C'} } \right)\)

\( = 3\overrightarrow {GG'} + \left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} } \right) + \left( {\overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {G'B'} + \overrightarrow {G'C'} } \right)\)

\( = 3\overrightarrow {GG'} - \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + \left( {\overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {G'B'} + \overrightarrow {G'C'} } \right)\)

\( = 3\overrightarrow {GG'} - \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = 3\overrightarrow {GG'} \).

Vậy \(\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} = 3\overrightarrow {GG'} \).