Cho hai số \(x,y\) thoả mãn x+ y bé hơn bằng 2 , x^2 + y^2 + xy =3

Ta có bất đẳng thức \({(x - y)^2} \ge 0 \Leftrightarrow xy \le \frac{{{{(x + y)}^2}}}{4}\). Bởi vậy từ giả thiết,

\({(x + y)^2} = 3 + xy \le 3 + \frac{{{{(x + y)}^2}}}{4} \Rightarrow 0 \le {(x + y)^2} \le 4.\)

Lại để ý đẳng thức \(3\left( {{x^2} + {y^2} + xy} \right) - \left( {{x^2} + {y^2} - xy} \right) = 2{(x + y)^2}\) hay \(0 \le 9 - T = 2{(x + y)^2} \le 8\), vậy \(1 \le T \le 9.\)

Khi \((x;y) = (1;1)\) (thoả mãn giả thiết) thì \(T = 1\).

Khi \((x;y) = (\sqrt 3 ; - \sqrt 3 )\) (thoả mãn giả thiết) thì \(T = 9\).

Kết luận: Giá trị lớn nhất của \(T\) là 9 ; giá trị nhỏ nhất của \(T\) là 1 .