Cho hai số x , y thỏa mãn điều kiện x^2 + 5 y^2 − 4x − 4xy + 6y + 5 = 0. Tính giá trị của biểu thức P = ( x − 3 )^2023 + ( y − 2 )^2023 + ( x + y − 5 )^2023 .

Hướng dẫn giải

Ta có \({x^2} + 5{y^2} - 4x - 4xy + 6y + 5 = 0\)

\({x^2} - \left( {4x + 4xy} \right) + 5{y^2} + 6y + 5 = 0\)

\({x^2} - 2x\left( {2 + 2y} \right) + 5{y^2} + 6y + 5 = 0\)

\({x^2} - 2x\left( {2 + 2y} \right) + \left( {4{y^2} + 8y + 4} \right) + \left( {{y^2} - 2y + 1} \right) = 0\)

\[\left[ {{x^2} - 2x\left( {2 + 2y} \right) + {{\left( {2y + 2} \right)}^2}} \right] + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0\]

\({\left( {x - 2y - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0\) (1)

Mà \[{\left( {x - 2y - 2} \right)^2} \ge 0\,;\,\,{\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0\] nên (1) xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y - 2 = 0\\y - 1 = 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 1\end{array} \right.\).

Thay \(x = 4\,,\,\,y = 1\) vào \[P = {\left( {x - 3} \right)^{2023}} + {\left( {y - 2} \right)^{2023}} + {\left( {x + y - 5} \right)^{2023}}\] ta được

\(P = {\left( {4 - 3} \right)^{2021}} + {\left( {1 - 2} \right)^{2023}} + {\left( {4 + 1 - 5} \right)^{2023}} = 1 - 1 + 0 = 0\).

Vậy \(P = 0\).