Cho hai số x, y khác 0 thỏa mãn x^2 + 8/x^2 + y^2/8 = 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xy + 2024.

Theo đề bài: x2+8x2+y28=8 suy ra 2x2+16x2+y24=16

Ta có: 2x2+16x2+y24=x2+16x2−8+x2+y24+xy−xy+8

=x−4x2+x+y22−xy+8.

Mà 2x2+16x2+y24=16 nên x−4x2+x+y22−xy+8=16

Do đó x−4x2+x+y22=xy+8.

Nhận xét: Với mọi x, y ta có x−4x2≥0,  x+y22≥0

Do đó xy+8≥0 hay xy≥−8.

Khi đó A=xy+2  024≥−8+2  024=2  016.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x−4x2=0x+y22=0 hay x−4x=0x+y2=0 tức là x2−4=0y=−2x nên x=2y=−4 hoặc x=−2y=4.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 2016 khi x;y∈2;−4;−2;4.