Cho hai số tự nhiên liên tiếp có tích bằng 30 là các nghiệm của phương trình x2 + ax + b = 0. Tính giá trị của biểu thức M = a2 + b2.

Đáp án: 1021

Gọi hai số tự nhiên cần tìm là u và v (điều kiện: 0 ≤ u < v < 30).

Vì u và v là hai số tự nhiên liên tiếp và u < v nên v = u + 1.

Vì tích của hai số bằng 30 nên uv = 30.

Thay v = u + 1 vào uv = 30 nên ta có:

u(u + 1) = 30

u² + u – 30 = 0

u² + 6u – 5u – 30 = 0

u(u + 6) – 5(u + 6) = 0

(u + 6)(u – 5) = 0

u – 5 = 0 (do u ≥ 0)

u = 5.

Với u = 5 thì v = 5 + 1 = 6.

Hai số u và v có tổng bằng 11 và tích bằng 30 nên hai số đó là nghiệm của phương trình

x² – 11x + 30 = 0.

Do đó, a = –11; b = 30.

Suy ra: M = a² + b² = (–11)² + 30² = 1 021.

Vậy M = 1 021.