Cho hai số thực x,y thay đổi thỏa mãn x+y+1=2x−2+y+3.Giá trị lớn nhất của biểu thức S=3x+y−4+x+y+127−x−y−3x2+y2 là ab với a,b là các số nguyên dương và ab tối giản. Tính a+b.

Chọn D

Chú ý với hai căn thức ta có đánh giá sau:a+b≥a+b và a+b≤2a+b.

Vậy theo giả thiết,ta có x+y+1=2x−2+y+3≥2x+y+1⇒x+y+1=0x+y+1≥4

Và x+y+1=2x−2+y+3≤22x+y+1⇒x+y+1≤8.

 Nếu x+y+1=0⇔x=2y=−3⇒S=−9476243.

 Nếu t=x+y∈3;7,ta có

x2≥2xx≥2;y−12≥0⇒y2≥2y−1⇒x2+y2≥2x+y−1.

Vì vậy S≤3x+y−4+x+y+127−x−y−6x+y+3

Xét hàm số ft=3t−4+t+127−t−6t+3 trên đoạn 3;7 ta có:

f't=3t−4ln3+27−t−t+127−tln2−6.

f''t=3t−4ln23+27−tln2−27−t−t+127−tln2ln2

=3t−4ln23+t+1ln2−227−tln2>0,∀t∈3;7.

Mặt khác f'3f'7<0⇒f't=0 có nghiệm duy nhất t0∈3;7.

Vậy ta lập được bảng biến thiên của hàm số ft như dưới đây:

Suy ra maxS=max3;7ft=f3=1483.Dấu bằng đạt tại x=2;y=1.

Do đó T=148+3=151.