Cho hai số thực x , y . Chứng minh rằng: 3 x^ 2 + 5 y^ 2 − 2 x − 2 x y + 1 > 0 .

Ta có: \(3{x^2} + 5{y^2} - 2x - 2xy + 1 > 0\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 2\left( {y + 1} \right)x + 5{y^2} + 1 > 0\).

Đặt \(f(x) = 3{x^2} - 2\left( {y + 1} \right)x + 5{y^2} + 1\), xem \(y\) là tham số khi đó \[f\left( x \right)\] là tam thức bậc hai ẩn \[x\] có hệ số \({a_x} = 3 > 0\) và \[{\Delta '_x} = {\left( {y + 1} \right)^2} - 3\left( {5{y^2} + 1} \right) =  - 14{y^2} + 2y - 2\].

Xét tam thức \(g\left( y \right) =  - 14{y^2} + 2y - 2\) có hệ số \({a_y} =  - 14 < 0\) và \({\Delta '_y} =  - 27 < 0\).

Suy ra \({\Delta '_x} = g\left( y \right) < 0\) với mọi số thực \(y\).

Do đó \(f\left( x \right) > 0\)  với mọi số thực \[x,y\].

Vậy \(3{x^2} + 5{y^2} - 2x - 2xy + 1 > 0\) (đpcm).