Cho hai số thực x lớn hơn bằng 0; 1 bé hơn bằng y bé hơn bằng 3 thỏa mãn 2^x - 2^y(2x + 1) = 4y + 2x + 4

Phương pháp giải

Giải bất phương trình hàm mũ.

Giải chi tiết

Giả thiết cho \({2^x} - {2^y}(2x + 1) = 4y + 2x + 4.\)

\( \Leftrightarrow {2^x}(2x + 1) = 2(2y + x + 2){2^y}\)

\( \Leftrightarrow {2^x}(2x + 1) = {2^{y + 1}}(2y + x + 2)\)

\( \Leftrightarrow {2^x}(2x + 1) = {2^{y + x + 1}}(2y + x + 1 + 1)\)

Xét hàm số\(f(t) = {2^t}(t + 1)\;{\rm{tr\^e n }}(0; + \infty )\)

suy ra \(f'(t) = {2^t}(t + 1)\ln 2 + {2^t} > 0,\;\forall t \in (0; + \infty ).\)

Hàm số f(t) luôn đồng biến trên \((0; + \infty )\) nên ta có\({2^x}(2x + 1) = {2^{y + x + 1}}(2y + x + 1) \Leftrightarrow 2x = 2y + x + 1 \Leftrightarrow x = 2y + 1.\)

Suy ra \(P = {2^{x - y - 2}} - x - {y^2} + 2037 = {2^{y - 1}} - ({y^2} + 2y + 1) + 2037 = \frac{1}{4} \cdot {2^{y + 1}} - {(y + 1)^2} + 2037.\)

Xét hàm số \(g(a) = \frac{1}{4} \cdot {2^a} - {a^2},\;a \in [2;4].\)\(g'(a) = \frac{{{2^a}\ln 2}}{4} - 2a.\)

Vì\(g'(a) \le g'(2) = \ln 2 - 4 < 0\)nên g(a) luôn nghịch biến trên [2;4].

\( \Rightarrow \min g(a) = g(4) = - 12.\)

Vậy \(\min P = - 12 + 2037 = 2025\)khi\(y + 1 = 4 \Rightarrow y = 3;\;x = 7\).