Cho hai số thực không âm x , y thỏa mãn x^2 − 2x − y = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = xy + 3/2 x^2 − 7x + 3y + 10.

Giải chi tiết:

\({x^2} - 2x - y = 3 \Leftrightarrow y = {x^2} - 2x - 3\)

\(y \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 3\\x \le - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 3.\)

\(P = xy + \frac{3}{2}{x^2} - 7x + 3y + 10\)

\( = x.({x^2} - 2x - 3) + \frac{3}{2}{x^2} - 7x + 3.({x^2} - 2x - 3) + 10\)

\( = {x^3} + \frac{5}{2}{x^2} - 16x + 1\)

Xét \(f(x) = {x^3} + \frac{5}{2}{x^2} - 16x + 1\)trên \([3; + \infty ).\)

Ta có: \(f'(x) = 3{x^2} + 5x - 16 > 0,\) \(\forall x \ge 3.\)

\( \Rightarrow {P_{\min }} = \frac{5}{2}.\)

Đáp án cần chọn là: A