Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log2 x+log2 (x+3y)<=2+2log 2y Biết giá trị lớn nhất của biểu thức

49/50

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log2x+log2(x+3y)≤2+2log2y. Biết giá trị lớn nhất của biểu thức S=x+yx2−xy+2y2−2x+3yx+2y

là a−bc với a, b, c là các số nguyên dương và bc là phân số tối giản. Tính P=a+b+c.

P=30

P=15

P=17

P=10

Giải thích

Đáp án D

Theo giả thiết ta có: log2(x2+3xy)≤log2(4y2)⇔x2+3xy≤4y2⇔(xy)2+3(xy)≤4

⇒0<t=xy≤1.

Khi đó S=f(t)=t+1t2−t+2−2t+3t+2 (với ).

Ta có f'(t)=5−3t2(t2−t+2)3−1(t+2)2≥2223−1(t+2)2=(t+2)2−2222(t+2)2>0

Do đó maxS=max(0;1]f(t)=f(1)=2−53⇒{a=2b=5c=3⇒P=10.