Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn a^2 + 9b2 ^= 10ab. Xét biểu thức P = log3(a + 3b) – log34. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng. Ta có: a² + 9b² = 10ab. Cộng cả hai vế của phương trình với 6ab, ta được:

a² + 6ab + 9b² = 16ab ⇔ (a + 3b)² = 16ab.

b) Sai. Theo câu a), ta có: (a + 3b)² = 16ab. Lấy loogarit cơ số 3 hai vế (với a, b > 0), ta được:

⇒ log₃(a + 3b)² = log₃(16ab) ⇔ 2log₃(a + 3b) = log₃2⁴ + log₃a + log₃b

⇔ 2log₃(a + 3b) = 4log₃2 + log₃a + log₃b ⇔ log₃(a + 3b) = 2log₃2 + \(\frac{1}{2}\)log₃a + \(\frac{1}{2}\)log₃b

⇔ log₃(a + 3b) = 2log₃2 + \(\frac{1}{2}\)(log₃a + log₃b) ≠ 4log₃2 + \(\frac{1}{2}\)(log₃a + log₃b).

c) Đúng. Theo câu b) ta có: log₃(a + 3b) = 2log₃2 + \(\frac{1}{2}\)(log₃a + log₃b)

⇔ P = 2log₃2 + \(\frac{1}{2}\)(log₃a + log₃b) – log₃4 = log₃2² + \(\frac{1}{2}\)(log₃a + log₃b) – log₃4

P = log₃4 + \(\frac{1}{2}\)(log₃a + log₃b) – log₃4 = \(\frac{1}{2}\)(log₃a + log₃b)

P = \(\frac{1}{2}\)log₃(ab).

d) Sai. Thay a = 3, b = 9 vào P, ta có: P = \(\frac{1}{2}\)log₃(3 ⋅ 9) = \(\frac{1}{2}\)log₃27 = \(\frac{1}{2}\) ⋅ 3 = \(\frac{3}{2}\)

Vậy với a = 3, b = 9, P = \(\frac{3}{2}\).