Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b + 3ab = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Ta có: (a−b)2≥0⇔a2+b2≥2ab⇔(a+b)2≥4ab;a2+b2≥(a+b)22

Từ giả thiết a+b+3ab=1⇒a+b=1−3ab≥1−34a+b2

⇔3a+b2+4a+b−4≥0⇔a+b+23a+b−2≥0⇔a+b≥23.3aba+b=1−(a+b)a+b=1a+b−1≤32−1=12.a2+b2≥a+b22≥29⇒−a2+b2≤−29.P=12aba+b−a2−b2=4.3aba+b−a2+b2≤2−29=169.

Giá trị lớn nhất của P bằng 169 khi a=ba+b+3ab=1⇔a=b=13.