Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn1/2 {\log _2}a = log 2 2/b

95/234

Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn \[\frac{1}{2}{\log _2}a = {\log _2}\frac{2}{b}.\]

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\[P = 4{a^3} + {b^3} - 4{\log _2}(4{a^3} + {b^3})\]được viết dưới dạng \[x - y{\log _2}z,\]với \(x,y,z \ge 2\) là các số nguyên, \(z\) là số lẻ.

Tổng \(x + y + z\) bằng

Giải thích

Giải chi tiết:

Từ giả thiết:

\[\frac{1}{2}{\log _2}a = {\log _2}\frac{2}{b} \Leftrightarrow {\log _2}\sqrt a = {\log _2}\frac{2}{b} \Leftrightarrow \sqrt a = \frac{2}{b} \Leftrightarrow a{b^2} = 4.\]

Đặt:

\[t = 4{a^3} + {b^3}.\]

Theo bất đẳng thức AM--GM:

\[4{a^3} + {b^3} = \frac{{{b^3}}}{2} + \frac{{{b^3}}}{2} + 4{a^3} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{{b^3}}}{2} \cdot \frac{{{b^3}}}{2} \cdot 4{a^3}}} = 3a{b^2} = 12.\]

Suy ra:

\[t \ge 12.\]

Khi đó:

\[P = t - 4{\log _2}t = f(t).\]

Ta có:

\[f'(t) = 1 - \frac{4}{{t\ln 2}} > 0,\quad \forall t \ge 12,\]

nên \(f(t)\) tăng trên \([12, + \infty )\).

Vì vậy:

\[{P_{\min }} = f(12) = 12 - 4{\log _2}12.\]

Ta viết:

\[12 - 4{\log _2}12 = 12 - 4({\log _2}3 + {\log _2}4) = 12 - 8 - 4{\log _2}3 = 4 - 4{\log _2}3.\]

Do đó:

\[x = 4,\quad y = 4,\quad z = 3.\]

Suy ra:

\[x + y + z = 4 + 4 + 3 = 11.\]

Chọn A.