Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn {1}{2}{log}}_2a

Đáp án

11.

Giải thích

Do \(a,b\) là các số thực dương và \(\frac{1}{2}{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}a = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\frac{2}{b} \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\sqrt a = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\frac{2}{b} \Leftrightarrow a{b^2} = 4\).

Đặt \(t = 4{a^3} + {b^3} = 4{a^3} + \frac{{{b^3}}}{2} + \frac{{{b^3}}}{2} \ge 3\sqrt[3]{{{a^3}{b^6}}} = 3a{b^2} = 12\).

Khi đó \(P = 4{a^3} + {b^3} - 4{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {4{a^3} + {b^3}} \right) = t - 4{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}t = f\left( t \right)\).

Ta có \(f'\left( t \right) = 1 - \frac{4}{{t{\rm{ln}}2}} > 0,\forall t \ge 12\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(f\left( t \right)\) là \(f\left( {12} \right) = 12 - 4{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}12 = 12 - 4\left( {2 + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}3} \right) = 4 - 4{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}3\).

Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 4{a^3} + {b^3} - 4{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {4{a^3} + {b^3}} \right)\) là \(4 - 4{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}3\).

Từ đó ta có \(x = y = 4,x = 3\). Tổng \(x + y + z\) bằng 11.