Cho hai số thực a,b>1 sao cho tồn tại số thực x(x>0, x khác 1) thỏa mãn .

41/50

Cho hai số thực \[a,b > 1\] sao cho tồn tại số thực \[x\left( {x > 0,x \ne 1} \right)\] thỏa mãn \[{a^{{{\log }_b}}}x = {b^{{{\log }_a}{x^2}}}\]. Khi biểu thức \[P = {\ln ^2}a + {\ln ^2}b - \ln \left( {ab} \right)\] đạt giá trị nhỏ nhất thì \[a + b\] thuộc khoảng nào dưới đây?

\[\left( {2;\frac{5}{2}} \right)\]

\[\left( {3;\frac{7}{2}} \right)\]

\[\left( {\frac{7}{2};4} \right)\]

\[\left( {\frac{5}{2};3} \right)\]

Giải thích

Đáp án B

Từ \[{a^{{{\log }_b}x}} = {b^{{{\log }_a}{x^2}}} \Rightarrow {\log _a}\left( {{a^{{{\log }_b}x}}} \right) = {\log _a}\left( {{b^{{{\log }_a}{x^2}}}} \right)\]

\[ \Rightarrow {\log _b}x = {\log _a}{x^2}.{\log _a}b = 2{\log _a}x.{\log _a}b \Rightarrow \frac{{\ln x}}{{\ln b}} = 2.\frac{{\ln x}}{{\ln a}}.\frac{{\ln b}}{{\ln a}} \Rightarrow {\left( {\ln a} \right)^2} = 2{\left( {\ln b} \right)^2}\]

Mà \[a,b > 1 \Rightarrow \ln a > 0;\ln b > 0 \Rightarrow \ln a = \sqrt 2 \ln b\]

\[ \Rightarrow P = {\ln ^2}a + {\ln ^2}b - \ln a - \ln b = 3{\ln ^2}b - \left( {1 + \sqrt 2 } \right)\ln b\]

=3lnb−1+2232−1+223≥−3+2212

Dấu “=” xảy ra ⇔lnb=1+26⇔b=e1+26⇒lna=2+26⇒a=e2+26 Chọn B.