Cho hai số nguyên \(p,q\) thỏa mãn đẳng thức \({p^2} + {q^2} = 2( {3pq - 4}     (*)

a) Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai số \(p,q\) là bội của 3

·       Giả sử trong hai số \(p,q\) không có số nào chia hết cho 3.

·       Khi đó \({p^2},\;{q^2}\) chia 3 dư 1. Suy ra:

+)  \({p^2} + {q^2}\;\) chia 3 dư 2;

+) Trong khi vế phải \(2\left( {3pq - 4} \right) = 6pq - 9 + 1\) chia 3 dư 1, vô lý

·       Do đó tromg hai số \(p,q\) phải có ít nhất một số là bội của 3.

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên \(\left( {p,q} \right)\) thỏa (*)

·       Do vai trò của \(p,q\) như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử \(q\) là bội của 3.

·       Do \(q\) nguyên tố nên \(q = 3\)

·       Khi đó từ (*) ta có \({p^2} + 9 = 2\left( {2p - 4} \right) \Leftrightarrow {p^2} - 18p + 17 = 0 \Leftrightarrow p = 1\) hoặc \(p = 17\)

·       Do \(p\) nguyên tố nên \(p = 17.\)

Vậy các cặp số \(\left( {p;q} \right)\) thỏa mãn (*) là \(\left( {p;q} \right) \in \left\{ {\left( {17;3} \right);\left( {3;17} \right)} \right\}.\)