Cho hai số không âm a và b thỏa mãn: a2 + b2 = a + b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức a/ a+1+ b/ b + 1

Vì a² + b² = a + b nên 2(a + b) = 2(a² + b²) ≥ (a + b)². Suy ra: 0 ≤ a + b ≤ 2.

Ta có: \(\frac{{\rm{a}}}{{{\rm{a}} + 1}} + \frac{{\rm{b}}}{{{\rm{b}} + 1}} = 2 - \left( {\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{a}} + 1}} + \frac{{\rm{1}}}{{{\rm{b}} + 1}}} \right)\).

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} \ge \frac{4}{{{\rm{x}} + {\rm{y}}}}\) với x, y > 0 ta có:

\(\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{a}} + 1}} + \frac{{\rm{1}}}{{{\rm{b}} + 1}} \ge \frac{4}{{{\rm{a}} + 1 + {\rm{b}} + 1}} \ge 1\).

Do đó, \(\frac{{\rm{a}}}{{{\rm{a}} + 1}} + \frac{{\rm{b}}}{{{\rm{b}} + 1}} = 2 - \left( {\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{a}} + 1}} + \frac{{\rm{1}}}{{{\rm{b}} + 1}}} \right) \le 1\).

Dấu “=” xảy ra khi a = b = 1.

Vậy giá trị lớn nhất của \(\frac{{\rm{a}}}{{{\rm{a}} + 1}} + \frac{{\rm{b}}}{{{\rm{b}} + 1}}\) bằng 1 khi a = b = 1.